几何布朗运动

几何布朗运动

一、正态随机变量概率密度函数描述：

(μ为总体均数、σ为标准差）

二、布朗运动的数学描述：

价格时间函数P(x），T+t时刻的价格P(T+t)与T时刻价格P(T)的差值：P(T+t)-P(T)是一个正态随机变量，分布的平均期望值μt，标准差为。（T>0，t>0)

重大缺陷：

1、按此价格理论上可有负值，但实际中价格不可能存在负值。

2、不论价格初值为何值，固定时间长度的价格差具有相同的正态分布，不符合常理。

三、几何布朗运动：

把价格差改为价格的涨跌幅：可以避免直接使用布朗运动描述价格的缺陷，即为几何布朗运动。

是一个正态随机变量，分布的平均期望值μt，标准差为。（T>0，t>0)

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几何布朗运动

几何布朗运动的作用是用来模拟股价的变动。它的好处在于，一般形式布朗运动中取值可能为负数，而几何布朗运动取值永远不小于0，这一点符合股价永远不为负的特征。

几何布朗运动微分形式的表述。或者称SDE（随机微分方程）形式：

其中的S(t)可以理解为股价。

几何布朗运动函数形式表述：

上述式子告诉我们，可以先生成一服从的一般形式布朗运动，然后求其指数函数，最后乘以S(0)，即期初的股价，就可以得到几何布朗运动。

补充：为何这里t的系数多出一项？具体可以参考伊藤公式。

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